1. Думаю, что дефис нужен. Конечно, название банка есть название банка, но мы не можем игнорировать составляющие его смысловые и лексические единицы, а топоним Нью-Йорк выделяется в этом названии совершенно естественным образом.

2. Так как артикли в практической транскрипции названий не передаются, то слово Бэнк в любом случае должно писаться с прописной буквы. Как общее правило, написание прописных и строчных букв в транскрипционном соответствии наименования компании должно соответствовать иноязычному оригиналу. Отчасти этот вопрос уже рассматривался здесь и здесь.

3. В официальных документах, особенно имеющих юридическую силу, имена собственные должны, как правило, быть полностью написаны на кириллице. Любой юридически значимый документ может в теории быть рассмотрен судом, а российские суды рассматривают документы, заключённые под российской юрисдикцией, только на русском языке, включая и имена собственные. Документы, оригиналы которых составлены на иностранных языках, принимаются к рассмотрению судами и вообще нашими государствнными органами только в русском переводе, должным образом заверенном.