Ильмира, спасибо за добрые слова. «Частное учреждение» Вы правильно перевели калькированием — private institution. Этот термин, в частности, включён в глоссарий ЮНЕСКО (см. здесь).

Что касается аббревиатуры ЧУ, то я не сторонник передачи подобных сокращений в принципе, но при переводе строгих юридических документов это бывает необходимо. Можно ради формальной точности написать ChU, но если Вы решите дать сокращение PI (от Private Institution), то, я думаю, и это будет неплохим решением. Фактически Вы, переводя учредительные документы, становитесь творцом англоязычной версии названия. Значит, сделайте её такой, чтобы и читалась легче, и смотрелась изящнее.