Приветствую, Сергей! Ваши сомнения имеют под собой почву. Действительно, неуклюжее, на первый взгляд, получается словосочетание — «достаю дубликатом». Но, с другой стороны, поэтам многое позволено, недаром есть такое выражение — «поэтическая вольность». В данном случае эта вольность оправдана, мне кажется, вот какими соображениями.

Во-первых, сочетание «дубликатом бесценного груза» занимает отдельную строку и просодически отделено от остального текста паузами, так что его можно приравнять к некоему вводному обороту.

Далее, творительный падеж здесь выступает в значении ‘в качестве чего-либо‘, т.е. «дубликатом» = ‘в качестве дубликата’. (По аналогии с конструкциями: «выступать посредником», «иллюстрировать примером» и т.п.).

Далее встаёт вопрос, о каком грузе идёт речь. Я думаю, что «груз» здесь использован как окказиональный синоним слова багаж. Ведь описанная в стихотворении ситуация — прохождение паспортного контроля в иностранном государстве. То есть говорящий — путешественник, и он, естественно, везёт с собой какой-то багаж (=груз). В данном случае «груз» нематериальный — гражданство СССР. И, само собой, «бесценный».

Ну, а почему паспорт — дубликат этого бесценного груза, я думаю, ясно: ведь паспорт — это не само гражданство, а только подтверждающий его документ, некая документальная копия, дубликат. Тоже, конечно, вольная трактовка значения слова дубликат, но, думаю, всё-таки приемлемая.

Таким образом, цитированные Вами строки я понимаю так:

Я достаю из широких штанин паспорт
В качестве документального подтверждения моего гражданства, которое для меня бесценно.

В целом должен сказать, что при всей тенденциозности политических стихотворений и поэм Владимира Маяковского он всё же был внимателен к форме и структуре поэтического текста и, даже идя на вольности, оставался, по моему мнению, в допустимых (для поэзии) рамках логики и связности.