Из Вашего вопроса не совсем понятно, идёт ли речь о переводе с английского на русский или с русского на английский. Так как Вы привели только русский контекст («Сержант оставил проступок подчиненного без последствий»), отвечу в отношении перевода с русского на английский. Моё мнение таково: так же как и русский глагол простить, глагол forgive относится прежде всего к личным (а не служебным) отношениям, хотя субъектом официального прощения может выступать суд, а также монарх, сюзерен, барин и вообще хозяин. В армии хоть и есть иерархия, но хозяев всё-таки нет. Чтобы в официальном тексте (подчёркиваю, официальном, ибо именно к этому стилю относится выражение «оставить без последствий») было сказано, будто "the sergeant forgave the private his mistake", мне кажется маловероятным. По крайне мере, в Корпусе американского английского языка (COCA) я не нашёл ни одного похожего контекста.

В моём «Новом Большом русско-английском словаре» выражение оставить без последствий предлагается переводить с помощью оборота take no action, например: его жалоба осталась без последствий — no action was taken on his complaint. Я по-прежнему рекомендовал бы искать соответствие по этому образцу.

Что касается выражения оставить без внимания, то здесь я тем более не вижу смысла в использовании глагола forgive, когда можно воспользоваться такими лексическими ресурсами, как ignore, take no notice of и т.п.