С позволения уважаемого Дмитрия Ивановича приведу отрывок из его книги "Методика межъязыковой передачи имен собственных" (ВЦП, Москва, 2009) по поводу этой буквы.
Стремление как можно точнее передать звучание иноязычного ИС средствами принимающего языка предполагает применение метода транскрипции. Его цель, в идеале, состоит в установлении взаимно однозначных соответствий между фонемами либо звуками (аллофонами) исходного и принимающего языков. Однако ни теоретически, ни практически такая цель полностью не достижима, т.к. для некоторых звуков в принципе невозможно подобрать аналоги в системе принимающего языка ни на уровне аллофонов, ни на уровне фонем. К таковым, например, относится английская фонема [ɜ:], передаваемая на письме чаще всего сочетаниями, er, ir, ur. Применяемые для передачи этих сочетаний русские буквосочетания ер, эр мало похожи на исходный звук фонетически, а на уровне фонем соотносятся и с другими английскими фонемами. Попытки использовать русскую букву ё (например, Turner - Тёрнер) также нельзя признать удачными, потому что в чтении она вызывает смягчение предыдущего согласного, что чуждо английскому фонетическому строю. В итоге имеются многочисленные расхождения в передаче этой фонемы по-русски, зафиксированные в таких соответствиях, как Richard Burton - Ричард Бартон, Uma Turman - Ума Турман, Kirk Douglas - Кирк Дуглас.

Д.И. ЕРМОЛОВИЧ:
Эта тема регулярно поднимается в письмах, присылаемых на сайт. Она уже обсуждалась, в частности, здесь.
Если в поле поиска Вы на первой странице сайта Вы введёте строку "буква ё", то получите ещё несколько ссылок на обсуждение материалов на эту тему.