Евгения, Вы задали интересные и важные вопросы, которые уже глубоко продумали. Я всегда это приветствую. Ну что ж, давайте разбираться.

1. В названия ведомств и организаций, которые при прямой кальке звучат слишком «не по-русски», нередко добавляют словосочетании по вопросам. Ну, а конкретные существительные по возможности заменяют на абстрактные или собирательные, например children — детство (а не дети) или (в каких-то контекстах) ребёнок.Department for Children, Schools and Families можно, я думаю, передать как Министерство по вопросам детства, школы и семьи (здесь последние два существительных в единственном числе приобретают обобщённое значение).

2. В подобных эргонимах следует выделять лексическое ядро, от которого эргоним является производным. Здесь это Utah Valley — долина Юта, чётко выделяемый географический район с озером Юта в центре, поэтому и Utah Valley University — Университет долины Юта. То, что название спортивной команды передаётся не калькированием, а практической транскрипцией, смущать никого не должно, потому что названия команд — это некие условные ярлычки, они могут соотноситься с реальными объектами, а могут и не соотноситься, и в общем случае рассматриваются в ономастике как имена, в которых превалирует форма, которую и следует передавать.

New Trier High School я бы передал как средняя школа Нью-Трир, без слова район, но и без кавычек: ведь в нём название района как бы «перенесено» на само учебное заведение — как Вы сами пишете, название школы часто сокращается до этого топонима. Термин «средняя школа» к high school вполне применим, а вот middle school можно передавать как «неполная средняя школа».