Александра, я Вам искренне сочувствую! Ну что ж, давайте разбираться. Начнём с термина «бюджетное учреждение». Хотя в моём словаре (НБРАС) приводятся соответствия state-financed / government-financed organization, но в терминологии ЕБРР утвердился вариант public-sector entity (PSE), который мне представляется весьма удачным. Впрочем, если Вы опасаетесь, что к такому переводу начнут придираться начальники, можете использовать и вариант budget(ary) entity / institution.

Теперь о порядке слов. Территориальное обозначение выносится или в начало наименования, или в конец. Главное, конечно, — это та часть «слоёного пирога», которая выражает характер деятельности учреждения по существу. В данном случае это «Центр диагностики и сердечно-сосудистой хирургии». Так как термины «центр» и «диспансер», по сути дела, дублируют друг друга, я бы предложил дать перевод «диспансера» (clinic) в скобках. Далее, слова округ и окружной оба относятся к ХМАО, и их передачу можно не дублировать. (В Википедии в названии ХМАО для слова «округ» используется Okrug, а не Area, но это дело вкуса.) Ну, а уже в конце указать на бюджетный характер учреждения. В соответствии с этим получаем:

The Khanty-Mansi Autonomous Okrug–Yugra Cardiovascular Diagnostics and Surgery Center (cardiological clinic), a public-sector entity

или

The Cardiovascular Diagnostics and Surgery Center (cardiological clinic), a public-sector entity of the Khanty-Mansi Autonomous Okrug–Yugra

Но если начальники будут уж очень настаивать, то можно и перевести «окружной» словом area:

The Khanty-Mansi Autonomous Okrug–Yugra Cardiovascular Diagnostics and Surgery Center (area cardiological clinic), a public-sector entity.